瓷砖：布朗先生的院子里铺有40块四方瓷砖。这些

答案朗先生的女儿利用所谓 "奇偶校验"解答了铺瓷砖问题。如果两个数都是奇数或都是偶数，则称其具有相同的奇偶性;如果一个数是奇数，另一个是偶数，则称其具有相反的奇偶性。在组合几何林 经常会遇到类似的情况。 　　这里，同色的两个格子具有相同的奇偶性，异色的两个格子具有 相反的奇偶性。长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反奇偶性的一对方 格。贝特西小姐首先说明，把19块长方形瓷砖在院内铺上后，只有 在剩下的两个方格具有相反的奇偶性时，才能把最后一块长方形瓷砖 铺上。由于剩下的两个方格具有相同的奇偶性，因此无法铺上最后一块长方形瓷砖。所以用20块长方形瓷砖来铺完院子是行不通的。 　　数学中许多著名的不可能性的证明都建立在奇偶校验上。也许你很熟悉欧几里德的著名证明:2的平方根不可能是一个有理数。证明是这样进行的:首先假设此平方根可以表示成一个既约的有理分数， 则分子和分母不可能都是偶数，否则它就不是一个既约分数。分子、 分母只可能都是奇数或者一个是奇数，另一个是偶数。欧几里德接着论证此分数不可能属于上述两种情况，换句话说，分子和分母不可能具有相同的奇偶性或相反的奇偶性。而任何有理分数是两者必居其一，因而反证了2的平方根不可能是一个有理数。 　　在铺砌理论中，有许多必定要用奇偶校验才能论证其不可能性的问题。上述问题只是个极简单的例子，因为它仅涉及用多米诺骨牌， 即简单的、不平凡的波利米诺来铺砌。(一个波利米诺是一些边缘相 连的单位正方形的集合。)贝特西小姐的不可能性证明适用于符合下 列要求的单位方格矩阵:这种矩阵若按棋盘那样涂色后，一种颜色的 方格要比另一种颜色的方格至少多一个。 　　在上述问题中，可以把院子看作缺少两个同色方格的一个6x7 矩阵。显然，如果缺少的两个方格同色，20个多米诺骨牌无法覆盖 仙个方格。一个有趣的并与上有关的问题是:如果缺少两个颜色不同的方格，20个多米诺骨牌是否能覆盖住那缺格的6x7矩阵?虽然 奇偶校验没有证明其不可能性，但这并不意味着一定可能覆盖。通过 擦去一对异色的方格，可生成所有可能的图形。但若逐一加以研究则 不胜其烦，因为各种可能的情况太多，以至无法分析。对于所有的情况来说，是否有一种简单的可能性证明? 　　有的，此证明既简单又巧妙，为拉尔夫·弋莫里妙手偶得之。他同样也是利用了奇偶原理。假设此6x7矩形有一条波及整个内部的闭合回路，完度为一格 (如图)，假设把整个回路上任何两个异色方格擦去，于是该闭合回路就一断为二，每一部分都是由格数成偶数的 异色方格组成。显然，这二部分的路总是可以用多米诺骨牌覆盖 (把骨牌看作为可以停在弯曲车道上的棚车)。你或许愿意尝试一下，把这个巧妙的证明应于尺寸、形状与此不同的矩阵，也可考虑擦去不止两个方格的情况。铺砌理论作为组合几何中的一个范围广泛的领域，越来越受到人 们的注目。要铺砌的平面可以是任何形状 "有限的或无限的"， 瓷砖也可以形形色色，而且问题可能会涉及不同形状瓷砖的集合，而 并非要求单一模式。不可能性证明还经常涉及以某种规定的方式，用 两种或两种以上颜色为某一平面着色。 　　与多米诺骨牌相似的三维物体是砖块，其单位尺寸为lx2x4。用这种砖块"堆"成 (空间铺砌)一个4x4x4的箱体并不困难，但用这种砖块可否堆成一个6x6x6的箱体?这个问题完全可以应用布朗先生院子问题这一解法。设想把该立方体分成27个小立方体，每个为2x2x2。把这些阶为2的立方体交替涂上黑、白两种颜色，好似一个三维的国际象棋棋盘。如果你把每种颜色的单位立方体的个数 数一下，就会发现，一种颜色的单位立方体比另一种颜色的多八个。 在那大立方体中，无论怎样放置砖块，不多不少总是恰恰 "盖 住"相同数目的黑色和白色的单位立方体。但一种颜色的单位立方体 比另一种颜色的多8个，最初的26块砖无论怎样置放，总会剩下同 样颜色的8个单位立方体。因此无法安置第27块砖。如果不厌其烦地探讨所有可能的堆砌方式，以求证明这一点，这样做显然极其费事。 　　砌砖理论仅是三维空间铺砌理论的一部分。关于空间堆砌问题， 各种资料文献正日趋增多。它们提出了大量悬而未决、引人入胜的问 题，有许多问题的解法可应用于商品的纸箱包装和堆仓等等。 　　奇偶性在粒子物理学方面也起着很重要的作用。1957年，两名中国血统的美国物理学家因他们在推翻著名的宇称 "守恒定律"方面 的贡献而获得诺贝尔奖金。由于这一题目专业性太强，故在此不作详述。但可举一个有趣的硬币戏法的例子来说明奇偶性守恒的一种方式。 　　往桌上抛一把硬币，数一下正面朝上的有多少，若是偶数，则称正面朝上的硬币具有偶数性;若是奇数，则称其具有奇数性。现在把 一对硬币翻身，再翻转第二对，第三对，任你翻转多少对。你将惊奇地发现，无论翻转多少对，正面朝上的硬币的奇偶性始终不变。如果原先是奇数性，那么还是保持奇数性;如果原先是偶数性，则始终保持偶数性。 　　利用这一点可耍一个巧妙的魔术。你背过身去，请人随心所欲地把硬币一对一对地翻转，再请他用手盖住其中任何一枚。然后你回过 身去，瞧一瞧硬币，即可正确地说出他手掌下的硬币是正面朝上还是反面朝上。秘密是开始时数一下正面朝上的硬币有多少，记住是奇数 还是偶数。由于一对一对地将硬币翻转并不会影响其原先的奇偶性， 所以你只要在最后再把正面朝上的硬币数一下，就可确定被盖住的那枚是正面朝上还是反面朝上。 　　还有一个变相的问题:请他用手盖住两枚硬币，你再说出盖住的那一对硬币其朝上一面是否相同。许多心算扑克牌花样的巧妙魔术都 是利用奇偶校验来设计的。